Wykładnik Hurst'a

Artykuł dotyczy tematyki związanej wykładnikiem Hursta oraz badaniem zjawiska pamięci w szeregach czasowych. Dostępne obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym oraz pakiecie Octave (Matlab).

Sylwetka H.E. Hurst'a

Harold Edwin Hurst urodził się 1 stycznia 1880 roku, zmarł 7 grudnia 1978. Biorąc pod uwagę fakt, że żył stosunkowo niedawno, ilość szeroko dostępnych informacji o jego osobie jest stosunkowo niewielka.

W czasie, gdy Hurst opracował analizę przeskalowanego zakresu, pracował jako hydrolog w Egipcie, zajmując się między innymi badaniami Nilu.

Zasługa Hurst'a polega na zastosowaniu innowacyjnej, lecz jednocześnie bardzo prostej metody do oceny zjawiska pamięci oraz przyczynowości w szeregach czasowych, dotyczących w szczególności zjawisk przyrodniczych, a także rynków finansowych. Wkład pana Hursta tym bardziej jest godzien uwagi, że pracował bez komputera, jego badania wymagały dużej samodyscypliny oraz wielu godzin mozolnej pracy.

Pomysł Hursta - Metoda z kartami

Na potrzeby badań nad zależnościami w szeregach czasowych Hurst wygenerował szereg czasowy z losowo pojawiającym się obciążeniem. W czasie, gdy Hurst prowadził swoje badania, komputery nie były jeszcze szeroko dostępne i dla stworzenia szeregu posłużył się talią kart. Karty były ponumerowane, a ich rozkład odpowiadał rozkładowi normalnemu.

Zaczynając eksperyment, Hurst wybierał losowo kartę, której wartość tworzyła obciążenie - usuwał lub dodawał odpowiadającą liczbę kart o najwyższych lub najniższych nominałach. Następnie losując karty zapisywał ich wartość tworząc szereg liczbowy, dopóki nie wylosował jokera, który był sygnałem, aby powtórzyć eksperyment od początku.

Dla otrzymanego w ten sposób szeregu Hurst oszacował wartość wykładnika Hursta h równą 0.714.

Symulacja szeregu Hursta dla kart w Octave

Zadaniem programu jest odtworzenie z pewnym przybliżeniem eksperymentu Hursta z kartami. Dla prostoty zostały wprowadzone pewne modyfikacje - działanie programu jest zgodne z poniższym algorytmem.

Wykres 1. Algorytm modelowania obciążonego szeregu za pomocą kart - technika symulacyjna Hursta.

algorytm postępowania w metodzie hursta z kartami

Źródło: opracowanie własne.

Program dla pakietu Octave, generuje szereg danych o długości 1024 danych.

Dla osób, które z różnych powodów nie używają Octave poniżej przykładowe pliki z danymi wygenerowanymi przez program, w popularnych formatach o długości 16384 danych.

Po prawidłowym uruchomieniu programu powinien pojawić się wykres (Wykres 1) - w górnej części szereg losowy z obciążeniem, w dolnej części wartość obciążenia, a tym samym długość działania danej wartości obciążenia.

Wykres 2. Symulacja eksperymentu Hursta z kartami.

symulacja eksperymentu Hurst'a z kartami

Źródło: opracowanie własne.

Dla kilkunastu wygenerowanych za pomocą powyższego programu szeregów czasowych o długości 16384 danych, średnia wartość wykładnika wyniosła 0.71297, co pokrywa się z wartością otrzymaną przez Hursta. Warto jednak zwrócić uwagę, że pojedyncze wartości mają tendencję do oscylowania wokół spodziewanej wartości, dla danych zamieszczonych na wykresie 3, jest to przedział 0.64414 - 0.76521

Wykres 3. Oszacowanie wykładnika Hursta dla szeregów wygenerowanych z pomocą programu hurst_gen.m o długości 16384 danych.


oszacowanie wykładnika Hursta dla danych z programu hurst_gen.m

Źródło: opracowanie własne.

Źródła:

"Teoria Chaosu a rynki kapitałowe" - Edgar E. Peters, WIG-Press, Warszawa 1997
Harold Edwin Hurst, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/harold_edwin_hurst
Hurst Exponent, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/hurst_exponent